Учебник О. Б. Богомоловой «Логические задачи»

Учебник О. Б. Богомоловой «Логические задачи» ориентирован на развитие навыков логического мышления через решение задач. Книга содержит разнообразные логические задачи, примеры и задания, которые помогают читателям учиться анализировать, рассуждать и делать выводы. Задачи с отношениями. Доступность изложения теории: 1.Задачи с транзитивными отношениями Необходимым условием решения таких задач является умение перейти от отношений разного вида между элементами задачи к отношениям одного вида. Например, если в задаче встречаются отношения «легче» и «тяжелее», надо заменить отношение «легче» отношением «тяжелее», с соответствующей перестановкой данных. Кроме того, необходимо умение смоделировать ее с помощью схемы, т.е. записать словесное условие задачи в виде модели-иллюстрации. Начать решение задачи можно как раз с рассмотрения модели-иллюстрации. 2.Задачи с некорректными условиями. После отработки решений задач с транзитивными отношениями целесообразно предложить учащимся задачи с некорректными условиями, где данных недостаточно, имеет место их излишек или несоответствие. 3.Задачи с отношением равенства. В задачах с отношением равенства некоторые данные приравниваются к другим. 4. Задачи с не транзитивными отношениями. В задачах данного типа из-за не транзитивности отношений для того, чтобы сделать вывод, необходимы дополнительные условия(ограничения). 5.Задачи с несколькими отношениями. Рассматриваемые составные задачи состоят из нескольких простых задач. Схема-модель для таких задач строится следующим образом: – все отношения записываются символически. – отношения предлагается записывать в несколько строк (не более трёх отношений на одной строке). – кружком выделяются символьные переменные, которые дважды не повторяются. Одна из них является началом ответа, а другая-концом. – последовательно попарно обводят одинаковые символьные переменные. – все отношения записываются последовательно в одну строчку, проставляется порядок, даются ответы на поставленные вопросы. 6.Задачи на сравнение элементов в отношениях. Сопоставление или сравнение - это такой логический приём, с помощью которого устанавливаются сходства или различия предметов объективного мира. Результат сравнения обозначается с помощью терминов «равно», «больше», «меньше», в зависимости от отношения сравниваемого предмета к основанию сравнения. Образцы задач: 1.1 Ручка дороже тетради, карандаш дешевле тетради. Что дороже всего? 1.2 Груша тяжелее яблока, а персик легче яблока. Какой из фруктов самый тяжёлый? 2.1 Ваня живёт выше Серёжи, а Серёжа-ниже Наташи. Кто живёт выше: Наташа или Ваня? 2.2 Галя веселее Оли, а Оля не веселее Гали. Кто из них веселее? 3.1 Синий карандаш толще красного, а красный такой же по толщине, как и голубой. Какой карандаш толще всех? 3.2 Ваня и Саша одного возраста. Тамара и Маша- одногодки. Кто старше: Лена или Маша? 4.1 Оля, Таня, Юля и Ира варили варенье. Две девочки варили варенье из смородины, две другие-из крыжовника. Таня и Ира варили из разных ягод, Ира и Оля тоже. Ира варила варенье из крыжовника. Какое варенье варила каждая девочка? 4.2 У Марины, Кати, Сони, Лизы и Ларисы живут три кошки и две собаки. Кто у какой девочки живет, если у Сони и Лизы одинаковые животные, у Кати и Сони тоже, у Сони и Лизы разные животные? 5.1 Митя, Серёжа, Толя, Юра и Костя пришли в музей до открытия и встали в очередь. Митя пришёл позже Серёжи, Толя- раньше Кости, Митя-раньше Толи, Юра-позже Кости. В каком порядке ребята стояли в очереди? 5.2 Возле почты растут шесть деревьев: сосна, береза, липа, тополь, ель и клен. Известно, что береза ниже тополя, липа выше клена, сосна ниже ели, липа ниже березы, сосна выше тополя. Укажите, как располагаются деревья по высоте. За пакет муки, пачку сахара и пачку кофе заплатили больше, чем за такой же пакет муки, пачку сахара и булку. Что дороже: кофе или булка? 6.2 На одной чаше весов лежат шесть одинаковых яблок и три одинаковые груши, на другой-три таких же яблока и пять таких же груш. Весы находятся в равновесии. Что легче: яблоко или груша? Способы решения задач: 1.Схемы 2.Модели-иллюстрации 3.Сравнение данных Задачи, решаемые с помощью схем и таблиц. Доступность изложения теории: Необходимо развивать навыки представления исходных данных задачи и рассуждений в виде схем и таблиц, которые, являясь наглядными графическим представлением информации, ускоряют и облегчают процесс решения задачи. Предлагается следующая последовательность решения задач с помощью схем. Ученики кратко записывают условие, вопрос задачи. Элементы условия задачи отображаются символьными переменными. Далее дети приступают к её решению. Если по условию между двумя элементами есть соответствие, то они соединяются сплошной линией. Если же между элементами соответствия нет, то они соединяются пунктирной линией. Чтобы учащиеся понимали, какие элементы рассуждений даны, а какие получены по доказательству, предлагается применять разные цветовые решения(проводить линии, например, красным и синим карандашами). С помощью таблиц решаются задачи с четырьмя, пятью и более парами элементов, когда использование схем неудобно и не наглядно из-за чрезмерной громоздкости. Возможно решение с помощью законов алгебры логики. Задачи такого типа можно постепенно усложнять путем увеличения числа элементов, но обязательно между элементами должно быть взаимно однозначное соответствие. Образцы задач: 1.Петя и Миша имеют фамилии Белов и Чернов. Какую фамилию имеет каждый из ребят, если Петя на два года старше Белова? 2.На одном заводе работают три друга-слесарь, токарь и сварщик. Их фамилии Борисов, Иванов и Семенов. У слесаря нет ни братьев, ни сестер. Он-самый младший из друзей. Семенов, женатый на сестре Борисова, старше токаря. Назовите фамилии слесаря, токаря и сварщика. 3.На столе лежат три пачки тетрадей. На 1-й пачке написано «10 класс». На 2-й пачке написано « 5 или 7 класс». На 3-й пачке написано «7 класс». Известно, что ни одна надпись не верна. В какой пачке какие тетради? 4.Коля, Боря, Вова и Юра заняли первые четыре места в спортивном соревновании. На вопрос, какие места они заняли, они честно ответили: – Коля не занял ни первое, ни четвертое место; – Боря занял второе место; – Вова не был последним. Какое место занял каждый мальчик? 5. В одном небольшом кафе в смене одновременно работали пять человек: администратор, повар, кондитер, кассир и дворник. Одновременно на работу выходили мисс Галбрэйт, мисс Шерман, мистер Вильямс, мистер Вортман и мистер Блэйк. При этом было известно, что: – повар холостяк; – кассир и администратор жили в одной комнате, когда учились в колледже; – мистер Блэйк и мисс Шерман встречаются только на работе; – миссис Вильямс заболела, когда муж сказал ей, что администратор отказал ему в отгуле на субботний вечер; – вортман собирается быть шафером на свадьбе у кассира и кондитера. Кто на какой должности в этом кафе? Способы решения задач: 1.Таблицы 2.Графы Задачи на переправу Доступность изложения теории: Трудность задач на переправу связана с ограниченной грузоподъемностью плавательных средств в условиях задач и с количеством и особенностями пассажиров. Для записи хода решения таких задач используют схему, которую предлагается составлять следующим образом: схематично изображается река, берега и плавательное средство; каждый этап переправы отделяется горизонтальной чертой; направление движения плавательного средства указывается стрелкой над обозначениями тех, кто переправляется на текущем этапе. Запись хода решения задачи в виде схемы способствует повышению интереса ребят, помогает детям представить содержание задачи и, что самое главное, содействует осмысленному пониманию хода рассуждений. Образцы задач: 1.Отец с двумя сыновьями отправился в поход. На их пути встретилась река, у берега которой находился плот. Он выдерживает на воде или отца, или двух сыновей. Как переправиться на другой берег отцу и сыновьям? 2.Крестьянину нужно перевезти через реку волка, козу и капусту. Но лодка такова, что в ней может поместиться только крестьянин или только с волком, или только с козой, или только с капустой. Но если оставить волка с козой одних, то волк съест козу, а если оставить козу одну с капустой, то коза съест капусту. Как перевез свой груз крестьянин? 3.К реке, у берега которой находилась лодка, вмещая только двух человек, подошли два разбойника и два путешественника. Они могли бы совершить нападение, только если на берегу остались бы два разбойника и один путешественник. У одного из разбойников была сломана рука, и он даже не мог грести веслами. Как надо переправиться через реку разбойникам и путешественникам, чтобы последние избежали нападения? Способы решения задач: 1.Таблицы 2.Графические иллюстрации Задачи, решаемые с помощью графов Доступность изложения теории: Усвоив приём решения задач данного раздела, учащийся и при рассмотрении других задач сумеет увидеть различные подходы к решению и уже не будет искать единственный способ выполнения задания, а постарается представить себе несколько вариантов решения и выбрать из них наиболее удобный. В ходе решения задачи начерчивается граф-фигура, состоящая из отдельных вершин, соединенных друг с другом. Сначала необходимо научить детей решать задачу по готовому графу, далее-достраивать предложенный граф, а затем переходить к заданиям по его самостоятельному построению. Образцы задач: 1.У Юры два автомобиля, четыре медвежонка и три мяча. Он хочет выбрать из этих игрушек один автомобиль, одного медвежонка и один мяч. Сколько у него есть вариантов выбора? 2.В классе хорошо поют и хотят участвовать в конкурсе песни четыре девочки-Света, Лиля, Марина и Наташа. Однако нужно выбрать только двоих. Сколькими способами это можно сделать? 3.Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5 при условии, что цифры в записи повторяться не будут? Перечислите эти числа Способы решения задач: 1.Графы Задачи на перебор возможных вариантов Доступность изложения теории: Задачи на перебор возможных вариантов решаются следующим образом: выдвигается некоторая гипотеза, которая подтверждается или опровергается в ходе дальнейших рассуждений. Гипотезы выдвигаются до тех пор, пока не найдется единственный истинный вариант. Решение задачи сопровождается записью рассуждений и там, где это необходимо для наглядности, графической иллюстрацией. В рассуждениях выдвижение гипотезы начинается со слова «Пусть». Если при рассмотрении какой-нибудь гипотезы получен ответ на вопрос задачи, надо обязательно проверить и другие варианты для подтверждения того, что найденное решение является единственным истинным. Проверить гипотезу возможно с помощью слов алгебры логики. Образцы задач: 1.В парке гуляли дети, среди них три подружки: Аня, Валя и Люда. Одна из них была в красном платье, другая-в белом, а третья-в синем. Когда их друзей спросили, какое платье было на каждой из девочек, они ответили: 1)Аня была в красном платье 2)Валя была не в красном платье 3)Люда была не в синем платье В каком платье была каждая из девочек, если известно, что только одно утверждение в ответе истинное? 2.Три подружки- Ксюша, Лена и Даша-купили в магазине груши, яблоки и сливы, причем каждая девочка покупала только один вид фруктов и все покупки были разными. На вопрос, кто что купил, покупатели, стоящие в очереди ответили: 1)Ксюша купила груши 2)Лена купила не груши 3)Даша купила не сливы Как оказалось позже, два из трёх ответов было ложны. Кто что купил? Способы решения задач: 1.Записи-рассуждения 2.Графическая иллюстрация Занимательные задачи Доступность изложения теории: Арифметические задачи заслуживают особого внимания. Большинство учащихся не любят решать даже простые задачи арифметическим способом. В то же время поиск таких решений требует подчас весьма остроумных рассуждений, умения глубоко вникнуть в ситуацию. Существует множество занимательных задач, которые достаточно быстро и легко можно решить с помощью возможностей электронных таблиц. Образцы задач: 1.В первую минуту лиса выбросила с воза 1 рыбку, во вторую минуту-2 рыбки, а втретью-4 рыбки, в четвертую-8 рыбок и т.д. сколько всего рыбок выбросила лиса за 10 минут? 2.Найти сумму, произведение, количества нечетных чисел от 0 до 10000, кратных 3 и 5. 3.В лаборатории положили амебу в 8 часов утра. Каждые 4 часа амеба делится на 4 амебы и 2 амебы? 3.В лаборатории положили амебу в 8 часов утра. Каждые 4 часа амеба делится на 4 амебы и 2 амебы погибают. Через сколько суток в колбе будет 1000 амеб Способы решения задач: 1.Записи-рассуждения Задачи, решаемые по трафаретам Доступность изложения теории: Предлагаемые задачи учат быстро оценивать ситуацию и принимать верное решение. Задачи, решаемые по трафаретам, помогают ученикам максимально сконцентрироваться. Учитель читает текст задачи, а ученики решают ее на готовом трафарете, где делают нужные записи. Для ответа нужно соединить сплошной линией обозначения понятий, между которыми есть соответствие. Проверка проводится фронтально, учащиеся меняются тетрадками и оценивают друг друга. Образцы задач: 1.Юра, Петя, Стас участвовали в соревнованиях по бегу. Петя занял не первое и не второе место. Стас прибежал после Юры. Какие места заняли мальчики при условии, что они заняли разные места? 2.В поле, парнике и саду растут роза, гладиолус, ромашка. Они разных цветов- желтого, красного и белого. Известно, что роза-теплолюбивый цветок и она желтого цвета, гладиолус растет в саду и он не белого цвета. Узнайте, какого цвета цветы и где они растут. 3.На уроке физкультуры Миша, Сережа, Аня и Толя выполняли упражнения. Трое подтягивались, а один прыгал. Миша и Сережа делали одинаковые Способы решения задач: 1.Таблицы 2.Записи-рассуждения